圆上的整点

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#[BZOJ1041][HAOI2008] 圆上的整点

给定一个圆 $x^2+y^2=r^2,r\text{ 为整数}$ ，求在圆周上有多少个点的坐标是整数。

$n\leq2\times10^8$

其实这不是计算几何，而是数论。
$$
x^2+y^2=r^2\
\implies y=\sqrt{(r+x)(r-x)}
$$

令 $d=gcd(r+x,r-x)$, 设 $\displaystyle A=\frac{r-x}{d},B=\frac{r+x}{d}$
则 $gcd(A,B)=1$, 即 $A,B$ 互质.

回带得 $y^2=d^2\cdot A\cdot B$
由于 $d^2,y^2$ 为完全平方数 , 则 $A\cdot B$ 为完全平方数；
又 $gcd(A,B)=1$, 排除 $A=B$ 的情况 , 说明 $A,B$ 均为完全平方数.

设 $A=a^2,B=b^2$
则
$$
a^2=\frac{r-x}{d},b^2=\frac{r+x}{d}\
\implies a^2+b^2=\frac{2r}{d}
$$
观察可知： $d$ 为 $2R$ 的一约数，则 $1\leq d\leq\sqrt{2r}$

具体统计的思路是枚举可能的 $a,b$ 看是否满足 $gcd(A,B)=1$.

我们先枚举 $d\in[1,\sqrt{2r}],d\mid 2r$;
然后对于每一个满足条件的 $d$ 我们就找到了两个约数 $\displaystyle d,\frac{2r}{d}$:

  • 枚举 $\displaystyle a\in[1,\sqrt{\frac{r}{d}}]$ (不妨设 $a<b$ ，则 $\displaystyle 2a^2\leq\frac{2r}{d}$) ，则 $\displaystyle b=\sqrt{\frac{2r}{d}-a^2}$ ，判断并统计答案;
  • 枚举 $\displaystyle a\in[1,\sqrt{\frac{d}{2}}]$ ($2a^2\leq d$), 则 $b=\sqrt{d-a^2}$, 判断并更新答案.

那么我们已经求出了一个象限的圆上整点数 $res$ 了，根据圆的对称性，再统计上坐标轴上的 $4$ 个整点，答案就是 $res*4+4$

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef long long ll;

ll R,ans=0;

ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

bool check(ll y,double x)
{
	if(x==std::floor(x))
	{
		ll x1=(ll)floor(x);
		if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)
			return true;
	}
	return false;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&R);
	for(ll d=1;d*d<2*R;d++)
		if((2*R)%d==0)
		{
			for(ll a=1;a*a<=2*R/(2*d);a++)
			{
				double b=std::sqrt(2*R/d-a*a);
				if(check(a,b)) ans++;
			}
			if(d!=2*R/d)
				for(ll a=1;a*a<=d/2;a++)
				{
					double b=sqrt(d-a*a);
					if(check(a,b)) ans++;
				}
		}
	printf("%lld\n",ans*4+4);
	return 0;
}